题意:

给出一个x 计算<=x的满足下列的条件正整数n的个数

\(p是素数,2 ≤ p ≤ 10^{6} + 3, 1 ≤ a, b < p, 1 ≤ x ≤ 10^{12}\)

思路:

题目中存在两个循环节 \(n % p\) 和 \(a ^ n % p\), 循环节分别为\(p,p-1\)

我们枚举\(i = n\ (mod)\ (p - 1)\)

可以得到两个方程

\[ n\ \equiv\ i\ mod\ (p-1) \]

\[ n \equiv \frac{b}{a ^ i}\ mod\ p\]

令$mm = \frac{b}{a ^ i} $

设 \[n = p * k + mm , n = (p - 1) * q + i \]

于是\(p * k + mm = p * q - q + i\)

在模p意义下可以得到

\(q \equiv (i - mm)\ (mod) p\)

然后就可以根据限制条件计算出有多少个满足条件的q 即答案了

#include
    
     #define LL long longusing namespace std;LL qpow(LL x,LL y,LL mod){    x %= mod;    LL ans = 1;    while(y){        if(y & 1) ans = ans * x % mod;        x = x * x % mod;        y >>= 1;    }    return ans;}int main(){    LL a,b,p,X;    cin>>a>>b>>p>>X;    LL x,y,m = b,inva = qpow(a, p - 2,p);    LL ans = 0;    for(int i = 0;i < p - 1;i++){        LL mm = (i - m + p) % p;        LL R = (floor)((1.0 * (X - i) / (p -1) - mm)/p) ;        LL L = mm / p;       // for(int j = L;j <= R;j++) cout<<(p * j + mm) * (p - 1) + i<<" ";        m = m * inva % p;        ans += R - L + 1;    }    cout<
     
      <